Tópicos de Processos Estocásticos e Estruturas Discretas

We establish a criterion for the existence of invariant probability measures for continuous operators, enabling the derivation of similar conditions within the framework of probabilistic cellular automata. In particular, we demonstrate conditions under which an invariant measure is also translation-invariant. As an application, we present a susceptible-infected-susceptible model constructed on probabilistic cellular automata. In the non-ergodic regime, our results confirm the existence of at least two distinct linearly independent invariant measures, both of which are translation-invariant. Furthermore, we show that any non-trivial invariant measure in this setting cannot be a Bernoulli product measure. That is a joint work with Hugo D. Medeiros

As álgebras de evolução de Hilbert são uma extensão do conceito de álgebras de evolução no marco dos espaços de Hilbert. Na palestra irei discutir a motivação que levou seu estudo, que vem da sua conexão com as cadeias de Markov a tempo discreto, assim como também alguns exemplos que ilustram a forma usar grafos para encontrar algumas das suas propriedades.

A codificação temporal é um mecanismo de transmissão de informação neuronal, no qual a informação de um estímulo é codificada através dos intervalos entre potenciais de ação. Aqui, investigamos a contribuição do ruído extrínseco (isto é, a variabilidade associada à corrente sináptica que é entregue ao neurônio) na codificação temporal. Em particular, simulamos diferentes pares de parâmetros de corrente sináptica aplicada a um neurônio Hodgkin-Huxley para obter intervalos entre potenciais de ação. Em seguida, ajustamos distribuições gama aos histogramas destes intervalos, obtendo estimativas de suas entropias diferenciais. Observamos que essas entropias foram mais sensíveis ao parâmetro associado ao desvio-padrão da corrente sináptica de que ao parâmetro associado à corrente sináptica média. Este fato trouxe mais uma evidência da contribuição do ruído extrínseco na codificação temporal.

We consider a class of particle processes with a finite number of types of particles, which we call Processes Without Collisions or PWC for short. As the discrete time goes on, any particle may die or transform itself into one or several particles of any types with certain probabilities, but there are no collisions, that is every transformation applies to only one particle and probabilities of its transformations do not depend on other particles. Systems with Variable Length or SVL is the name of a new class of 1-D particle systems, whose components can appear and disappear in the process of interaction. We consider SVL with discrete time, in which we have only three operations: Death with probability α, Conversion with probability β and Mitosis with probability γ, and only two types of particles 1 and 2. We use PWC to prove that if γ > γ∗, where γ∗ is given by an explicit formula, this SVL has at least two different invariant measures and its deterministic approximation has at least two different fixed points. If γ ≤ γ∗, the stochastic process has only one invariant measure and its deterministic approximation has only one fixed point.

We consider two interacting random walks on Z such that the transition probability of one walk in one direction decreases exponentially with the number of transitions of the other walk in that direction. Our results are obtained by considering the dynamical system approach to stochastic approximations.

Os modelos de rumores são modelos matemáticos (probabilísticos) de tipo epidêmico para representar a propagação de uma informação em uma população. Nesta comunicação apresentarei resultados recentes para esses modelos e alguns problemas em aberto.